Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\)

b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\)

c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\)

Giải:                                                

a. Biến đổi vế trái:

\(\eqalign{  & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)  \cr  &  = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{  & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right]  \cr  &  = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \)

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{  & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2}  \cr  &  = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c^2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)  \cr  &  = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \)

Vế phải bằng vế trái, đẳng  thức được chứng minh.