Câu 21 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD (h. 183). Từ A và C kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD. Chứng minh rằng hai đa giác ABCH và ADCK có cùng diện tích.

Giải:                                                                   

Xét ∆ ABC và ∆ CDA

+) AC chung

+) AB = CD (Vì ABCD là hình bình hành)

+) BC = DA (Vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra ∆ ABC = ∆ CDA (c.c.c)

$\Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{CDA}}$     (1)

ABCD là hình bình hành nên OA = OC (tính chất hình bình hành)

Xét hai tam giác vuông AOH và CKO có:

+) OA = OC (cmt)

+) $\widehat {AOH} = \widehat {COK}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AOH = \Delta COK$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow AH = CK$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: AH, CK cùng vuông góc với BD nên AH // CK

Tứ giác AHCK có AH = CK (cmt) và AH //CK (cmt) nên AHCK là hình bình hành. 

Do đó: AK = CH (tính chất hình bình hành)

Xét ∆ AHC và ∆ CKA có:

+) AC chung

+) CH = AK (cmt)

+) AH = CK (cmt)

$\Rightarrow$ ∆ AHC = ∆ CKA (c.c.c)

$\Rightarrow {S_{AHC}} = {S_{CKA}}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

${S_{ABC}} + {S_{AHC}} = {S_{CDA}} + {S_{CKA}}$

Hay ${S_{ABCH}} = {S_{ADCK}}$

Sachbaitap.com