Câu 2.100 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{{x^{2 - 4}}}} = {3^{x - 2}};\)

b) \({4^{{{\log }_{0,5}}({{\sin }^2}x + 5\sin x\cos x + 2) = {1 \over 9}}}.\)

Giải                  

a) Lôgarit cơ số 2 hai vế ta được:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right){\log _2}3 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right){\log _2}3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = - 2 + {\log _2}3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=2\) và \(x = - 2 + {\log _2}3\)

b) Điều kiện để phương trình có nghĩa là

                                \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 2 > 0\)

Lấy lôgarit cơ số 4 cả hai vế của phương trình , ta được

     \({\log _{0,5}}({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 2){\log _4}{3^{ - 2}}\)

\( \Leftrightarrow  - {\log _2}({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 2) =  - {\log _2}3\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 2 = 3\) ( thỏa mãn điều kiện )

\( \Leftrightarrow \cos x(5\sin x - \cos x) = 0\)

+) \(\cos x = 0\) ta tìm được \(x = {\pi  \over 2} + k\pi \).

+) \(5{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - \cos x = 0\), tức là \(\tan x = {1 \over 5}\) . Do đó \(x = \arctan {1 \over 5} + k\pi \)

Sachbaitap.com