Câu 23 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

23. Trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d và đường tròn (C) lần lượt có phương trình:

\(\eqalign{
& d:\,Ax + By + C = 0 \cr
& \left( C \right):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr} \)

a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Ox.

b) Viết phương trình ảnh của dường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Oy.

c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục là đường thẳng bx - ay = 0.

Giải

a) Phép đối xứng qua Ox biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) mà x = x’ và y = - y’. Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên d thì \(Ax + Bx + C = 0\) hay \(A'x - By' + C = 0\). Vậy \(M'\left( {x';y'} \right)\) thỏa mãn phương trình Ax - By + C = 0. Đó là phương trình ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Phép đối xứng qua Oy biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) mà x = x’ và y = y’. Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên (C) thì:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 2ax' + 2by' + c = 0 \cr} \)

Vậy \(M'\left( {x';y'} \right)\) thỏa mãn phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax + 2by + c = 0.\) Đó là phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục với trục là Oy.

c) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\), rõ ràng tâm I nằm trên đường thẳng bx - ay = 0. Suy ra phép đối xứng qua đường thẳng đó biến (C) thành chính nó. Vậy ảnh của (C) có phương trình trùng với phương trình của (C).

sachbaitap.com