Câu 24 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:

a)

\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)

b) 

\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)

c)

\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\)

d)

\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\)

e)

\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\)

Giải

a) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\) Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a - b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr 
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr 
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr 
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr 
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra: 

\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)

b) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\) ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a - 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{163a = 326} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr 
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra: 

\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr 
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\)

Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)

c) Đặt \({1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x - y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne  \pm y\). Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a - b = - {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr 
{b - {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr 
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr 
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x - y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr 
{x - y = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr 
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)

Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện 

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) =  (5; 3).

d) Đặt \({1 \over {2x - 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne {3 \over 2}y;x \ne  - {1 \over 3}y.\) Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = - 2} \cr
{3b - 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = - 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{12a + 25a + 105 = - 6} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{37a = - 111} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{a = - 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr 
{a = - 3} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x - 3y}} = - 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 3y = - {1 \over 3}} \cr 
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr 
{2x - 3\left( {{1 \over 2} - 3x} \right) = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr 
{2x + 9x = - {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr 
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr 
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - {7 \over {22}}} \cr 
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr 
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \)

Hai giá trị \(x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\) thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)

e) Đặt \({1 \over {x - y + 2}} = a;{1 \over {x + y - 1}} = b.\) Điều kiện \(x - y + 2 \ne 0;x + y - 1 \ne 0.\)

Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a - 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{7a - 5.{{4 - 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{14a - 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{29a = 29} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr 
{a = 1} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x - y + 2}} = 1} \cr 
{{1 \over {x + y - 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x - y + 2 = 1} \cr 
{x + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{y - 1 + y - 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{2y = 4} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \)

Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) =  (1; 2).

Sachbaitap.com