Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

28. Trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.

a) Chứng minh rằng MN//BD.

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE).

c) Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.

Giải

a) Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD. Dễ thấy:

b) Ta có:

\(\eqalign{
& MM \subset \left( {MNE} \right) \cr
& BD \subset \left( {ABCD} \right) \cr
& MN//BD \cr
& \Rightarrow \left( {MNE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ex \cr} \)

thỏa mãn Ex // MN // BD.

Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH.

c) Ta có:

\(\eqalign{
& NM \subset mp\left( {MNE} \right) \cr
& DB \subset mp\left( {SBD} \right) \cr
& MN//DB \cr} \)

Và \(\left( {MNE} \right) \cap \left( {SBD} \right) = LH\)

Suy ra: LH // DB.

sachbaitap.com