Câu 2.94 trang 85 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

a) \({\left( {\sqrt {6 + \sqrt {35} } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {35} } } \right)^x} = 12;\)                                                         

b) \({\log _2}(2{x^2} - 5) + {\log _{2{x^2} - 5}}4 = 3.\)        

Giải

a) \(x = 2\) và \(x =  - 2\)

Ta có: \(\sqrt {6 + \sqrt {35} } .\sqrt {6 - \sqrt {35} }  = 1\), đặt \(t = {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {35} } } \right)^x}\left( {t > 0} \right)\) dẫn đến phương trình

\(t + {1 \over t} = 12\)  

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 12t + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 6 + \sqrt {35} \hfill \cr
t = 6 - \sqrt {35} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\left( {\sqrt {6 + \sqrt {35} } } \right)^x} = 6 + \sqrt {35} \hfill \cr
{\left( {\sqrt {6 + \sqrt {35} } } \right)^x} = 6 - \sqrt {35} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\) và \(x =  - 2\)     

b) Đặt \(t = {\log _2}\left( {2{x^2} - 5} \right)\) với \(\left( {t \ne 0} \right)\) dẫn đến phương trình

\(t + {2 \over t} = 3\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left( {2{x^2} - 5} \right) = 1 \hfill \cr
{\log _2}\left( {2{x^2} - 5} \right) = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} - 5 = 2 \hfill \cr
2{x^2} - 5 = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm \sqrt {3,5} \hfill \cr
x = \pm \sqrt {4,5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  \pm \sqrt {3,5} \) và \(x =  \pm \sqrt {4,5} \)

Sacbaitap.com