Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({v_n})\) xác định bởi

\({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} =  - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\)

b) Chứng minh rằng \({v_n} = {v_{n + 3}}\)  với mọi \(n \ge 1.\)

Giải

a) Ta có 

\(\eqalign{
& {v_2} = - {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr
& {v_3} = - {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = - {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr
& {v_4} = - {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= - {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr} \)

b) Ta sẽ chứng minh \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Từ giả thiết của bài ra và kết quả cuẩ phần a) ta có \({v_1} = {v_4}.\) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \(n = k + 1.\)

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({v_n})\) và giả thiết quy nạp ta có

\({v_{k + 4}} =  - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \)

         \(=  - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

 sachbaitap.com