Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}{x_2}...{x_n} = 1\). Chứng minh rằng \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n.\)

Giải

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với \(n = 1,\) theo giả thiết bài toán ta có \({x_1} = 1.\) Vì thế, ta có (1) đúng khi \(n = 1.\)

Với \(n = 2,\) xét hai số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện

\({x_1}{x_2} = 1.\)               (2)

Hiển nhiên, trong hai số \({x_1},{x_2}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_1} \le 1\) và \({x_2} \ge 1.\) Khi đó, ta có

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} \ge 1 + {x_1}{x_2} \ge 2\) (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) tức là giả sử với k số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) ta luôn có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \ge k\)

Xét \(k + 1\) số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} \ge k\)   (3)

Hơn nữa, dễ thấy trong \(k + 1\) số \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_k} \le 1\) và \({x_{k + 1}} \ge 1.\) Khi đó ta có

\(\left( {1 - {x_k}} \right)\left( {{x_{k +1}} - 1} \right) \ge 0\) hay \({x_k} + {x_{k + 1}} \ge 1 + {x_k}{x_{k + 1}}\)    (4)

Từ (3) và (4) suy ra

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k} + {x_{k + 1}} \ge \)

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1 \ge k + 1\)

Như thế, ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.

sachbaitap.com