Câu 3.6 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:

 a) \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)

b) \(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\)

Giải

a) Ta sẽ chứng minh

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)                                     (1)

Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp

Với  \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)                    (2)

Mà \(\sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ  (2) suy ra

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra  (1) đúng với mọi \(n \ge 2\)

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

sachbaitap.com