Câu 3.72 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol \(y = {x^2}\) lấy dãy các điểm \(({A_n})\) và \(({B_n})\) sao cho điểm \({A_1}\) có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \( - {1 \over 5}\) và đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}.\) (h.3.2).

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với hoành độ của \({A_n}\) và \({B_n}\).

Chứng minh rằng các dãy số \(({a_n})\) và\(({b_n})\) là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

Giải

Với mỗi \(n \ge 1,\) do \({A_n}\) và \({B_n}\)  nằm trên parabol \(y = {x^2}\) nên  \({A_n} = \left( {{a_n};a_n^2} \right)\) và \({B_n} = \left( {{b_n};b_n^2} \right)\). Từ đó:

- Do đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \(- {1 \over 5}\) nên \({a_n} + {b_n} =  - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1;\)

- Do đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}\) nên \({a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}\) với mọi \(n \ge 1;\)

Suy ra với mọi \(n \ge 1,\) ta có

           \({a_{n + 1}} - {a_n} = {9 \over {20}}\) và \({b_{n + 1}} - {b_n} =  - {9 \over {20}}.\)

Vì thế

- Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1}\) và công sai \(d = {9 \over {20}};\)

- Dãy số \(({b_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} =  - {1 \over 5} - {a_1}\) và công sai \(d =  - {9 \over {20}}.\)

Số hạng tổng quát : \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\) và \({b_n} =  - {1 \over 5} - {a_1} - \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\).

Sachbaitap.com