Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) . Dùng phương pháp vectơ, chứng minh rằng

\({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\)

Trả lời:

 

Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {S{\rm{D}}} \)

hay \(\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} \)

Đặt

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {S{A_1}} ,\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {S{B_1}} ,  \cr  & \overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {S{C_1}} ,\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = d\overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  \cr} \)

(với a, b, c, d là các số lớn hơn 1)

Khi đó:

\(\eqalign{  & {{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = a + c  \cr  & {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}} = b + d \cr} \)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  = {1 \over d}.\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = {1 \over d}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)  \cr  &  = {1 \over d}\left( {a\overrightarrow {S{A_1}}  + c\overrightarrow {S{C_1}}  - b\overrightarrow {S{B_1}} } \right)  \cr  &  = {a \over d}.\overrightarrow {S{A_1}}  + {c \over d}.\overrightarrow {S{C_1}}  - {b \over d}.\overrightarrow {S{B_1}}  \cr} \)

Mặt khác các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra

\({a \over d} + {c \over d} - {b \over d} = 1\)

tức là a + c = b + d

Như vậy  \({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\).

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.