Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính độ dài MN. b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD. Trả lời: Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \) . Khi đó, ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = {1 \over 2}{m^2}\) và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\) a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right)\) hay \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - b} \right)\) Vậy Tức là \(MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\) b) Ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c - {{\overrightarrow b }^2}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr} \) Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90° Ta có: Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°. Ta có : Tức là: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}\) Từ đó \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
|
Giải bài tập Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 11 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao