Câu 4.1, 4.2 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Câu 4.1 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường tròn (O). Điểm E bất kỳ thuôc đoạn thẳng AB (và không trùng với A, B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC tại điểm F. Chứng minh \(\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}\).

Giải

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O)

At \( \bot OA\) (tính chất tiếp tuyến)

\(EF \bot OA\) (gt)

Suy ra: At // EF

\(\widehat {EFA} = \widehat {CAt}\) (so le trong)

\(\widehat {CBA} = \widehat {CAt}\) (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: \(\widehat {EFA} = \widehat {CBA}\)  hay \(\widehat {EFA} = \widehat {CBE}\)

\(\widehat {EFA} + \widehat {EFC} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

\(\overparen{CBE}\) + \(\overparen{EFC}\) = 180⁰      (1)

Trong tứ giác BCFE ta có:

\(\overparen{BCF}\) + \(\overparen{BEF}\) + \(\overparen{CBE}\) + \(\overparen{CFE}\) =  360⁰   (tổng các góc trong tứ giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}\)

Câu 4.2 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC vuông ở A, AH và AM tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác đó. Qua điểm A kẻ đường thẳng mn  vuông góc với AM. Chứng minh: AB và AC tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bở AH và hai tia Am, An của đường thẳng mn.

Giải

∆ABCvuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\( \Rightarrow AM = MB = MC = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

\( \Rightarrow \) ∆AMB cân tại M

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {BAM}\)            (1)

\(mn \bot AM\) (gt)

\( \Rightarrow \widehat {mAM} + \widehat {BAM} = {90^0}\)       (2)

∆AHB vuông tại H

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = {90^0}\)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\). Vậy AB là tia phân giác của \(\widehat {mAH}\).

∆AMC cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\)            (4)

                                    \(mn \bot AM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {nAC} = {90^0}\)          (5)

∆AHC vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat C = {90^0}\)            (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra: \(\widehat {HAC} = \widehat {nAC}\). Vậy AC là tia phân giác của \(\widehat {HAn}\)

Sachbaitap.com