Câu 4.1, 4.2 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Câu 4.1 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường tròn (O). Điểm E bất kỳ thuôc đoạn thẳng AB (và không trùng với A, B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC tại điểm F. Chứng minh $\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}$.

Giải

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O)

At $\bot OA$ (tính chất tiếp tuyến)

$EF \bot OA$ (gt)

Suy ra: At // EF

$\widehat {EFA} = \widehat {CAt}$ (so le trong)

$\widehat {CBA} = \widehat {CAt}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: $\widehat {EFA} = \widehat {CBA}$  hay $\widehat {EFA} = \widehat {CBE}$

$\widehat {EFA} + \widehat {EFC} = {180^0}$ (hai góc kề bù)

$\overparen{CBE}$ + $\overparen{EFC}$ = 180⁰      (1)

Trong tứ giác BCFE ta có:

$\overparen{BCF}$ + $\overparen{BEF}$ + $\overparen{CBE}$ + $\overparen{CFE}$ =  360⁰   (tổng các góc trong tứ giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}$

Câu 4.2 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC vuông ở A, AH và AM tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác đó. Qua điểm A kẻ đường thẳng mn  vuông góc với AM. Chứng minh: AB và AC tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bở AH và hai tia Am, An của đường thẳng mn.

Giải

∆ABCvuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow AM = MB = MC = {1 \over 2}BC$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow$ ∆AMB cân tại M

$\Rightarrow \widehat B = \widehat {BAM}$            (1)

$mn \bot AM$ (gt)

$\Rightarrow \widehat {mAM} + \widehat {BAM} = {90^0}$       (2)

∆AHB vuông tại H

$\Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = {90^0}$      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat {mAB} = \widehat {BAH}$. Vậy AB là tia phân giác của $\widehat {mAH}$.

∆AMC cân tại M $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C$            (4)

                                    $mn \bot AM$ (gt) $\Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {nAC} = {90^0}$          (5)

∆AHC vuông tại H $\Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat C = {90^0}$            (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra: $\widehat {HAC} = \widehat {nAC}$. Vậy AC là tia phân giác của $\widehat {HAn}$

Sachbaitap.com