Câu 42 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Giải

Gọi ba đường tròn tâm O₁, O₂, O₃

(O₁) cắt (O₂) tại A; (O₁) cắt (O₃) tại B.

(O₂) cắt(O₃) tại C. Suy ra D là điểm nằm trên đường tròn (O₃).

BD cắt (O₁) tại M, DC cắt (O₂) tại N.

Nối PA, PB, PC; MA, NA.

Ta có tứ giác APBM  nội  tiếp trong đường tròn (O₁).

\(\widehat {MAP} + \widehat {MBP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác  nội tiếp)

\(\widehat {MBP} + \widehat {PBD} = 180^\circ \) (kề bù)

Suy ra: \(\widehat {MAP} = \widehat {PBD}\)                               (1)

Ta có: Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (O₂)

\(\widehat {NAP} + \widehat {NCP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)

\(\widehat {NCP} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (kề bù)

Suy ra: \(\widehat {NAP} = \widehat {PCD}\)                               (2)

 Tứ giác BPCD nội tiếp trong đường tròn (O₃)

\( \Rightarrow \widehat {PBD} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MAP} + \widehat {NAP} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Sachbaitap.com