Câu 43 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 43 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc. Trả lời
a) Vì \(MN \bot AB,SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SMN} \right)\). Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) cũng bằng 90°. Tương tự, góc giữa (SMN) và (SCD) cũng bằng 90°. Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tùy ý thì (SMN) vuông góc cả với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). b) Dễ thấy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = St,St//AB\). Như vậy \(St \bot \left( {SMN} \right)\), từ đó \(\widehat {M{\rm{S}}N}\) hoặc \({180^0} - \widehat {M{\rm{S}}N}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính \(\widehat {M{\rm{S}}N}\). Ta có \(S{M^2} = S{N^2} = {h^2} + {a^2} \) \(M{N^2} = S{M^2} + S{N^2} - 2{\rm{S}}M.SN\cos \widehat {MSN} \) \(\Leftrightarrow 4{a^2} = {h^2} + {a^2} + {h^2} + {a^2} - 2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)\cos \widehat {MSN} \) tức là \(\cos \widehat {MSN} = {{2{h^2} - 2{a^2}} \over {2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}} = {{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}.\) Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là α mà \(\cos \alpha = \left| {{{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}} \right|\). Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. |
Giải bài tập Câu 44 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 45 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 46 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 47 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao