Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoChứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\) Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}.\) Tìm \(\lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).\) c) Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\) Giải a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\) \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}\) (như trong hướng dẫn). Khi đó \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(\lim x{'_n} = + \infty \); \(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0\) và \(\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.\) Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\) Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},\) Ta có \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{ Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\) b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\) c) Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho Khi đó \(\lim {x_n} = 0\) và \(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{ Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\); d) Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số
|