Câu 46 trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

46. Trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C.

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mp(SAB). Thiết diện là hình gì?

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp(P) với SD và SC. Chứng minh rằng giao điểm I của NE và MF chạy trên một đường thẳng cố định.

Giải

(h.99)

a) \(\left. \matrix{
\left( P \right)//\left( {SAB} \right) \hfill \cr
\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN \hfill \cr
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow MN//AB\,\,(1)\)

\(\left. \matrix{
\left( P \right)//\left( {SAB} \right) \hfill \cr
\left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = MF \hfill \cr
\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow MF//SB\,\,(2)\)

\(\left. \matrix{
\left( P \right)//\left( {SAB} \right) \hfill \cr
\left( P \right) \cap \left( {SAD} \right) = NE \hfill \cr
\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow NE//SA\,\,(3)\)

\(\left. \matrix{
\left( P \right)//CD \hfill \cr
CD \subset \left( {SCD} \right) \hfill \cr
\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right){\rm{ = EF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow EF//CD\,\,(4)\)

Các điểm N, E, F được xác định bởi (1), (2), (3), (4) là giao điểm của (P) với AD, SD, SC có tính chất EF // MN. Vậy thiết diện là hình thang MNEF.

b) Xét ba mặt phẳng (P), (SAD), (SBC). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( P \right) \cap \left( {SAD} \right) = NE \cr
& \left( P \right) \subset \left( {SBC} \right) = MF \cr
& \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right){\rm{ = }}\Delta \cr} \)

Vậy ba đường thẳng NE, MF, \(\Delta \) đồng quy tại I (I là giao điểm của NE và MF). Từ đó, điểm I chạy trên đường thẳng \(\Delta \) cố định.

sachbaitap.com