Câu 4.8 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng caoCho vectơ Cho vectơ \(\vec u,\vec u'\) trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a) Chứng minh rằng tích vô hướng \(\vec u.\vec {u'}\) thỏa mãn \(\vec u.\vec {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar {z'}} \right)\) b) Từ câu a) suy ra rằng nếu \(\bar u \ne 0\) thì \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \({{z'} \over z}\) là số ảo. c) Chứng minh rằng \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\) Giải a) Viết \(z = x + yi,z' = x' + y'i\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = xx' + yy'\) và \(\bar zz' + z\bar{ z'} = \left( {x - yi} \right)\left( {x' + y'i} \right) + \left( {x + yi} \right)\left( {x' - y'i} \right) \) \(= 2\left( {xx' + yy'} \right)\) nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar z'} \right)\) b) \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow \bar zz' + z\bar {z'} = 0\), chia cả hai vế cho \(z\bar z \ne 0,\) được \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z} + {\bar {z'} \over{\overline z } } = 0\) \( \Leftrightarrow {{z'} \over z} + \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z}\) là số ảo. c) \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\) \(\Leftrightarrow \left( {z + z'} \right)\left( {\overline {z + z'} } \right) = \left( {z - z'} \right)\left( {\overline {z - z'} } \right)\) \(\Leftrightarrow \bar zz' + z\bar{ z'} = 0,\) nên câu a) nó tương đương với \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}= 0\) (Chú ý: khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}\) không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 1. Số phức
|
Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số:
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: