Câu 5.52 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

        \(f\left( x \right) = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left( {n \in N} \right)\)

Tìm

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right)\)                          b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right)\)               

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right)\)                      d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right)\)

Giải

Ta có

                 \(f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\)

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = x \ne 1\) ta được:

                        \(f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\)

Từ đó suy ra

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1\)                     

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2\)(vì\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0\))

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) =  + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0\) suy ra\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} =  + \infty \))

Sachbaitap.com