Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A1D1 của hình hộp ABCD.A1B1C1D1. a) Xác định giao điểm P và Q của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng B1C1 và DB1. b) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} \) qua các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) trong đó \(\overrightarrow b = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow c = \overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow a = \overrightarrow {A{A_1}} \). Trả lời a) Đặt \(\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \). P là giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1C1 khi và chỉ khi C, M, N, P thuộc một mặt phẳng và P thuộc đường thẳng B1C1. Ta có các điểm M, N, C, P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số x, y, z sao cho: \(x + y + z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) và \(\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AM} + y\overrightarrow {AN} + z\overrightarrow {AC.} \) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AP} = x.{{\overrightarrow b } \over 2} + y\left( {\overrightarrow a + {{\overrightarrow c } \over 2}} \right) + z\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr & = y\overrightarrow a + \left( {{x \over 2} + z} \right)\overrightarrow b + \left( {{y \over 2} + z} \right)\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \) Vì P thuộc đường thẳng B1C1 nên \(\overrightarrow {{B_1}P} = t\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \), từ đó \(\overrightarrow {AP} = \overrightarrow b + \overrightarrow a +t \overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1), (2) và do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên \(\left\{ \matrix{ y = 1 \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\) Kết hợp (*) và (**), ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ y = 1 \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow z = - x \Rightarrow {x \over 2} - x = 1 \Leftrightarrow x = - 2 \cr & \Rightarrow z = 2,t = {5 \over 2} \cr} \) Vậy giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1C1 là điểm P xác định bời \(\overrightarrow {{B_1}P} = {5 \over 2}\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \) . Tương tự như trên, nếu gọi Q là giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B1D thì ta có \(x + y + z = 1\). và \(\eqalign{ & \overrightarrow {AQ} = x\overrightarrow {AM} + y\overrightarrow {AN} + z\overrightarrow {AC} \cr & = y\overrightarrow a + \left( {{x \over 2} + z} \right)\overrightarrow b + \left( {{y \over 2} + z} \right)\overrightarrow c \cr} \) Mặt khác \(\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow b + \overrightarrow a + t\overrightarrow {{B_1}D}\) \( = \overrightarrow a + \overrightarrow b + t\left( { - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \) \(= \left( {1 - t} \right)\overrightarrow a + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow b + t\overrightarrow c\) Ta có hệ phương trình sau: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ y = 1 - t \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 - t \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x \over 2} - y + z = 0 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr {x \over 2} + {y \over 2} + 2{\rm{z}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 1 - z = 2 - 4{\rm{z}} \Leftrightarrow z = {1 \over 3} \cr & \Rightarrow x = {2 \over 9},y = {4 \over 9},t = {5 \over 9}. \cr} \) Vậy giao điểm Q của đường thẳng B1D với mp(CMN) được xác định bởi \(\overrightarrow {{B_1}Q} = {5 \over 9}\overrightarrow {{B_1}D} \) b) Từ kết quả của câu a), ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {AP} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + {5 \over 2}\overrightarrow c \cr & \overrightarrow {AQ} = {4 \over 9}\overrightarrow a + {4 \over 9}\overrightarrow b + {5 \over 9}\overrightarrow c \cr} \). Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao