Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \(\overrightarrow {PA} = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \), k là số cho trước (k ≠ 1). Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \({{QB} \over {QC}}.\) Trả lời MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \(\overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \). Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c .\) Khi đó \(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr & \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}} \cr & = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) - {k \over 2}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b - 2\overrightarrow a } \right)} \right] \cr & = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + {k \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)} \right] \cr & = {1 \over {2\left( {1 - k} \right)}}\left[ {\left( {1 + k} \right)\overrightarrow a + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow b } \right] \cr & = {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}}\overrightarrow a - {1 \over 2}\overrightarrow {b.} \cr & \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BQ} \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) + t\left( { - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \cr & = - {1 \over 2}\overrightarrow a + \left( {{1 \over 2} - t} \right)\overrightarrow b + t\overrightarrow c \cr} \) Từ đó ta có \(\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}} = - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr - {1 \over 2} = - {1 \over 2}x + y\left( {{1 \over 2} - t} \right) \hfill \cr 0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow y = - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}} \cr & t = {k \over {k - 1}} \cr} \) Như vậy \(\eqalign{ & \overrightarrow {BQ} = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC} = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {QC} } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - {k \over {k - 1}}} \right)\overrightarrow {BQ} = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC} \cr & \Leftrightarrow - \overrightarrow {BQ} = k.\overrightarrow {QC} \cr & \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 76 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 77 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao