Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \(\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \), k là số cho trước (k ≠ 1). Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \({{QB} \over {QC}}.\)

Trả lời

  

MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \(\overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ} \).

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c .\)

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  & \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) - {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) + {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {2\left( {1 - k} \right)}}\left[ {\left( {1 + k} \right)\overrightarrow a  + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow b } \right]  \cr  &  = {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}}\overrightarrow a  - {1 \over 2}\overrightarrow {b.}   \cr  & \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BQ}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + t\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow a  + \left( {{1 \over 2} - t} \right)\overrightarrow b  + t\overrightarrow c  \cr} \)

Từ đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}} =  - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr   - {1 \over 2} =  - {1 \over 2}x + y\left( {{1 \over 2} - t} \right) \hfill \cr  0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y =  - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}}  \cr  & t = {k \over {k - 1}} \cr} \)

Như vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QC} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - {k \over {k - 1}}} \right)\overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow  - \overrightarrow {BQ}  = k.\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \)

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.