Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Gọi \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho \(\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C} \) , \(\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D} ,\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A} \). Với giá trị bào của k thì bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng?

Trả lời:

Cách 1. 

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng.

Các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\)  cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để

\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Từ hệ thức \(\overrightarrow {{B_1}B}  = k\overrightarrow {{B_1}C} \), ta có

\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}B}  - k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 - k}}\)

hay

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB}  - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC} } \right)} \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c  \cr} \)

Mặt khác

 \(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A}  = k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  \cr} \)

Vậy \(\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \).

Tương tự như trên, ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}A}  - k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DA}  - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DB} } \right)} \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  \cr} \)

hay

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)  \cr  & \overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {{\overrightarrow {{D_1}C}  - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {{\overrightarrow {{D_1}D}  + \overrightarrow {DC}  - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}}  \cr  &  = \overrightarrow {{D_1}D}  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c  \cr} \)

do đó \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi

\(k\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - k\overrightarrow c \)

\(= \left( {mk + nk + m} \right)\overrightarrow a  - mk\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để

\(\left\{ \matrix{  k = mk + nk + m \hfill \cr  1 =  - mk \hfill \cr   - k = n \hfill \cr}  \right.\)

Điều đó tương đương với \(k =  - 1 - {k^2} - {1 \over k}\) hay \({k^3} + {k^2} + k + 1 = 0\) hay k = -1.

Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2.

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \). Tìm k để các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn

\(\overrightarrow {D{A_1}}  = x\overrightarrow {D{B_1}}  + y\overrightarrow {D{C_1}}  + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} \) 

với x + y + z = 1               (a)

Từ hệ thức \(\overrightarrow {{A_1}A}  = k\overrightarrow {{A_1}B} \) ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {D{A_1}}  = {{\overrightarrow {DA}  - k\overrightarrow {DB} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Tương tự như trên, ta cũng có

\(\overrightarrow {D{B_1}}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {{C_1}C}  = k\overrightarrow {{C_1}D} \) ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{C_1}D}  + \overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {{C_1}D}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

Tương tự từ \(\overrightarrow {{D_1}D}  = k\overrightarrow {{D_1}A} \), ta cũng có

\(\overrightarrow {{D_1}D}  = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra

\(\overrightarrow {D{A_1}}  =  - {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}}  - k\overrightarrow {D{B_1}}  - {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( b \right)\)

Từ (a) và (b) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{  &  - {1 \over k} - k - {k^2} = 1  \cr  &  \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow k =  - 1 \cr} \)

Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.