Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho tam giác đề ABC có chiều cao AH = 5a. Điểm O thuộc đoạn thẳng AH sao cho AO = a. Điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O và SO = 2a. a) Chứng mịn AS và CS vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. b) Gọi I là trung điểm của OH; (α) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với AH. Thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α) là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Trả lời
a) Dễ thấy \(\eqalign{ & BC = {{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }} \cr & S{A^2} = S{O^2} + A{O^2} \cr & = 4{{\rm{a}}^2} + {a^2} = 5{{\rm{a}}^2} \cr & S{C^2} = S{O^2} + A{O^2} \cr & = 4{{\rm{a}}^2} + 16{{\rm{a}}^2} + {{25{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{a^2}} \over 3} \cr & A{C^2} = {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr} \) Ta có \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\) Vậy \(SA \bot SC\). + Kẻ AD song song và bằng BC (hai tia AD, BC cùng chiều) thì góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC, đó là \(\widehat {SC{\rm{D}}}\) hoặc \({180^0} - \widehat {SC{\rm{D}}}\). Dễ thấy \(SA \bot BC\), do AD // BC nên \(SA \bot A{\rm{D}}\), tức là tam giác SAD vuông. Do đó \(S{{\rm{D}}^2} = S{A^2} + A{{\rm{D}}^2} = 5{{\rm{a}}^2} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} = {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3}\), mặt khác \(S{{\rm{D}}^2} = S{C^2} + D{C^2} - 2{\rm{S}}C.DC\cos \widehat {SCD}\) nên ta có \(\eqalign{& {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{{\rm{a}}^2}} \over 3} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} - 2.{{a\sqrt {85} } \over {\sqrt 3 }}.{{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\cos \widehat {SCD} \cr & \Rightarrow \cos \widehat {SCD} = {7 \over {2\sqrt {85} }} \cr} \) Vậy góc giữa AB và SC là α mà \(\cos \alpha = {7 \over {2\sqrt {85} }}\). Do \(\left( \alpha \right) \bot AH,SO \bot AH\) và \(BC \bot AH\) nên SO và BC cùng song song với (α). Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), MN qua I và MN // BC \(\eqalign{ & \left( \alpha \right) \cap \left( {SOH} \right) = IJ,IJ//SO \cr & \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ \cr} \) PQ qua J và PQ // BC. Dễ thấy MNPQ là hình thang cân với chiều cao JI. Ta có : \(\eqalign{ & {\rm{IJ}} = {1 \over 2}SO = a \cr & PQ = {1 \over 2}BC = {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }} \cr & {{MN} \over {BC}} = {{3{\rm{a}}} \over {5{\rm{a}}}} \Rightarrow MN = {{10{\rm{a}}.3} \over {\sqrt 3 .5}} = 2{\rm{a}}\sqrt 3 . \cr} \) Suy ra \(\eqalign{ & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).{\rm{IJ}} \cr & = {1 \over 2}\left( {2{\rm{a}}\sqrt 3 + {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}} \right).a = {{11{{\rm{a}}^2}} \over {2\sqrt 3 }} \cr} \) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 79 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 80 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao