Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B cố định với \(AB = a\sqrt 2 \) (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với ∆ và ở trong (P) lấy điểm M khác A. Đặt AM = m. Trên nửa đường thẳng By vuông góc với ∆ và trong (Q) lấy điểm N sao cho \(BN = {{{a^2}} \over m}\). a) Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông. b) Với giá trị nào của m thì MN có độ dài bé nhất? Tính giá trị đó. c) Chứng minh rằng chân mỗi đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi. Trả lời
a) Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right),\left( P \right) \cap \left( Q \right) = AB,\) \(M \in \left( P \right),MA \bot AB\) nên \(MA \bot \left( Q \right)\). Do đó MAB, MAN là các tam giác vuông tại A. Tương tự như trên, các tam giác MBN, ABN vuông tại B. b) Vì \(\eqalign{ & M{N^2} = M{A^2} + A{B^2} + B{N^2} \cr & = {m^2} + 2{a^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}} \cr} \) Từ đó MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi \({m^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}}\) bé nhất. Mặt khác \({m^2}.{{{a^4}} \over {{m^2}}} = {a^4}\). Vậy MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi: \({m^2} = {{{a^4}} \over {{m^2}}} \Leftrightarrow m = a\). c) Vì \(\left( {MAB} \right) \bot \left( {NMB} \right)\) nên khi kẻ AA1 vuông góc với BM tại A1 thì \(A{A_1} \bot \left( {BMN} \right)\), tức A1 là chân đường cao của tứ diện ABMN kẻ từ đỉnh A. Như vậy A1 thuộc (P) và \(\widehat {B{A_1}A} = {90^0}\), từ đó A1 thuộc đường tròn đường kính AB trong (P). Đường tròn này cố định. Tương tự như trên, chân đường cao B1 kẻ từ đỉnh B của tứ diện ABMN cũng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng (Q). Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 85 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao