Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho \(AM = DN = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\) a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất. b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C. Trả lời
a) Kẻ \(MH \bot A{\rm{D}}\) thì \(MH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) và \(MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH\). Kẻ \(NK \bot A{\rm{D}}\) thì \(NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK\). Vậy \(KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|\). Ta có: \(\eqalign{ & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2} \cr & = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr} \) Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\). b) Khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì \(\eqalign{ & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3}; \cr & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9}; \cr & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr} \) Từ đó \(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}\) hay \(MN \bot A{\rm{D}}'\). Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \(MN \bot B{\rm{D}}\). Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD. Khi \(DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì NB = 2ND. Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng
Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng. Xét tam giác A’IC ta có: \({{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA'}} = {1 \over 2}\) Vậy MN // A’C. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 85 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao