Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho

\(AM = DN = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\)

a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.

b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.

Trả lời

 

a) Kẻ \(MH \bot A{\rm{D}}\) thì \(MH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) và \(MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH\).

Kẻ \(NK \bot A{\rm{D}}\) thì \(NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK\).

Vậy \(KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|\).

Ta có:

\(\eqalign{  & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2}  \cr  &  = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr} \)

Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).

b) Khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì

\(\eqalign{  & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3};  \cr  & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9};  \cr  & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr} \)

Từ đó \(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}\) hay \(MN \bot A{\rm{D}}'\).

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \(MN \bot B{\rm{D}}\).

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.

Khi \(DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì NB = 2ND.

Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng

 

Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.

Xét tam giác A’IC ta có:

\({{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA'}} = {1 \over 2}\)

Vậy MN // A’C.

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.