Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 9 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho \(\overrightarrow {MA} = {k_1}\overrightarrow {MC} \) ; N là điểm thuộc BD sao cho \(\overrightarrow {NB} = {k_2}\overrightarrow {N{\rm{D}}} \) . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2. Trả lời:
Vì \(\overrightarrow {MA} = {k_1}\overrightarrow {MC} \) nên \(\overrightarrow {IM} = {{\overrightarrow {IA} - {k_1}\overrightarrow {IC} } \over {1 - {k_1}}}\) Tương tự, ta có: \(\overrightarrow {IN} = {{\overrightarrow {IB} - {k_2}\overrightarrow {I{\rm{D}}} } \over {1 - {k_2}}} = {{ - \overrightarrow {IA} - {k_2}\overrightarrow {I{\rm{D}}} } \over {1 - {k_2}}}\) Mặt khác: \(\overrightarrow {IJ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)\) Để các điểm I, I, M, N thuộc một mặt phẳng, điều kiện cần và đủ là ba vectơ \(\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IJ} \) đồng phẳng. Rõ ràng là \(\overrightarrow {IN} \) và \(\overrightarrow {IJ} \) không cùng phương nên điều khẳng định \(\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IJ} \) đồng phẳng tương đương với \(\overrightarrow {IM} = p\overrightarrow {IN} + q\overrightarrow {IJ} \) hay \(\eqalign{ & {{\overrightarrow {IA} - {k_1}\overrightarrow {IC} } \over {1 - {k_1}}} = p.{{ - \overrightarrow {IA} - {k_2}\overrightarrow {ID} } \over {1 - {k_2}}} + {q \over 2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {{1 \over {1 - {k_1}}} + {p \over {1 - {k_2}}}} \right)\overrightarrow {IA} - \left( {{{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} + {q \over 2}} \right)\overrightarrow {IC} \cr& + \left( {{{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} - {q \over 2}} \right)\overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \cr} \) Do \(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {ID} \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên tương đương với \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {1 \over {1 - {k_1}}} + {p \over {1 - {k_2}}} = 0 \hfill \cr {{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} + {q \over 2} = 0 \hfill \cr {{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} - {q \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow {{{k_1}} \over {1 - {k_1}}} = - {{p{k_2}} \over {1 - {k_2}}} = {{{k_2}} \over {1 - {k_1}}} \cr} \) hay k1 = k2 Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
|
Giải bài tập Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 11 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao