Câu 86 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa  A và O. Vẽ đường tròn (O') có đường kính CB.

a)      Hai đường tròn (O) và (O') có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ?

b)      Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao?

c)      Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O'). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d)     Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').

Giải:

a) Vì O, O' và B thẳng hàng nên: O'B < OB ⇒ O' nằm giữa O và B

Ta có: OO' = OB - O¢B

Vậy đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O) tại B.

b) Ta có:   HA = HC (gt)

 AB ⊥ DE (gt)

Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)

Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Lại có: AC ⊥ DE

Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi.

c) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD

Suy ra:  EC ⊥ BD            (1)

Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O¢) có BC là đường kính nên vuông tại K.

Suy ra: CK ⊥ BD             (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK

Vậy E, C, K thẳng hàng.

d) Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:

\(HK = HE = {1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác EHK cân tại H

Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân)            (3)

Ta có: O'K = O'C (= R) nên tam giác O'CK cân tại O'

Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\)                                  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HKO'} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\)     (5)

Tam giác CEH vuông tại H nên \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(\widehat {HKO'} = 90^\circ \) hay HK ⊥ KO' tại K

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').

Sachbaitap.com