Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Trả lời

Trước hết, ta chứng minh

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ}   \cr  &  =  - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {DC} } \over 2}  \cr  &  =  - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right)  \cr  &  = {{ - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \over 2}  \cr  & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c   \cr  & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  \cr} \)

Vậy, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Tương tự, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\)

\(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\)

\( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \)

Từ đó suy ra:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.