Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \) \(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\) Trả lời Trước hết, ta chứng minh \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\) Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DJ} \cr & = - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD} + {{\overrightarrow {DC} } \over 2} \cr & = - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right) \cr & = {{ - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \over 2} \cr & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)^2} \cr & = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} \cr & = {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2} \cr & = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c \cr} \) Vậy, ta có: \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\) Tương tự, ta có: \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\) \(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\) \( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \) \(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \) Từ đó suy ra: \(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\) \(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
|
Giải bài tập Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 15 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 16 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao