Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 105, 106

Bài 1 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos (\alpha  + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta \).             

B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha \)

C. \(\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \).             

D. \(\cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \).

Phương pháp:

Nhớ lại công thức lượng giác

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: nên đáp án A sai.

Bài 2 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

B. Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

C. Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

D. Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

Phương pháp:

Hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {5^n}\). Số hạng \({u_{2n}}\) bằng

A. \({2.5^n}\).               

B. \({25^n}\).                

C. \({10^n}\)                 

D. \({5^{{n^2}}}\).

Phương pháp:

Tính số hạng của một dãy số

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có u_2n = 5²ⁿ = (5²)ⁿ = 25ⁿ.

Bài 4 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi công thức số hạng tổng quát nào dưới đây là dãy số tăng?

A. \(\frac{1}{{{n^2} + 1}}\).           

B. \({2^{ - n}}\).           

C. \({\log _{\frac{1}{2}}}n\).                    

D. \(\frac{n}{{n + 1}}\).

Phương pháp:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

+)

Xét u_{n + 1} – u_n =

, với mọi n $\in$ ℕ*

Do đó là dãy số giảm.

Xét 

Do đó là dãy số giảm.

Có a =  nên luôn nghịch biến với n $\in$ℕ*.

Do đó là dãy số giảm.

+) 

Xét u_{n + 1} – u_n =với mọi n $\in$ ℕ*.

Do đólà dãy số tăng.

Bài 5 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ge 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L \).           

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} =  - \infty \).

C. Nếu \(|q| \le 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\).                                           

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sin n}}{{n + 1}} = 0\).

Phương pháp:

Quy tắc tìm giới hạn

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

+) Theo quy tắc tìm giới hạn thì: Nếunên A đúng.

+)nên B đúng.

+) Nếu |q| < 1 thì , nếu |q| = 1 thì q = 1 hoặc q = – 1, do đó qⁿ = 1 hoặc qⁿ = – 1.

Vậy C sai.

+) Ta cónên D đúng.

Bài 6 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = \tan x\).  

B. \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} + 1}}\).                  

C. \(y = \sin x\).                  

D. \(y = |x|\).

Phương pháp:

Hàm số sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các hàm số y= ,; y = sinx; y = |x| đều liên tục trên ℝ.

Hàm số y = tanx có tập xác định là nên hàm số y = tanx không liên tục trên ℝ.

Bài 7 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho \(0 < a \ne 1\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}\left( {{a^3} \cdot \sqrt[4]{a}} \right) + {(\sqrt[3]{a})^{{{\log }_a}8}}\) bằng

A. \(\frac{{19}}{4}\).              

B. 9 .                   

C. \(\frac{{21}}{4}\).              

D. \(\frac{{47}}{{12}}\).

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lôgarit

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Bài 8 trang 105 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho đồ thị ba hàm số mũ \(y = {a^x},y = {b^x}\) và \(y = {c^x}\) như trong hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(a > c > b\).                       

B. \(b > a > c\).

C. \(c > a > b\).                        

D. \(c > b > a\).

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nếu \(a > 1\)

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến nếu \(0 < a < 1\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = b^x có đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến, từ đó suy ra 0 < b < 1.

Hàm số y = a^x và y = c^x đồng biến (do đồ thị của các hàm số này đều đi lên từ trái sang phải) nên a, c > 1.

Với x > 0 thì c^x > a^x nên c > a. Vậy c > a > b.

Bài 9 trang 106 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Nếu \(f(x) = {\sin ^2}x + x{e^{2x}}\) thì \(f''(0)\) bằng

A. 4.                    

B. 5 .                   

C. 6 .                   

D. 0 .

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc kết hợp công thức để tính đạo hàm

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có f'(x) = 2sinxcosx + e^2x + 2xe^2x = sin2x + e^2x + 2xe^2x;

f"(x) = 2cos2x + 2e^2x + 2e^2x + 4xe^2x = 2cos2x + 4e^2x + 4xe^2x .

Ta có f"(0) = 2cos0 + 4 = 2 + 4 = 6.

Bài 10 trang 106 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 6{x^2} - 5\) tại điểm \(M(3; - 5)\) thuộc đồ thị là

A. \(y = 18x + 49\).                                    

B. \(y = 18x - 49\)

C. \(y =  - 18x - 49\).                                  

D. \(y =  - 18x + 49\).

Phương pháp:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có y' = −6x² + 12x, y'(3) = −18.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −2x³ + 6x² – 5 tại điểm M(3; −5) là

y = −18(x – 3) – 5 hay y = −18x + 49.

Bài 11 trang 106 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(SA \bot (ABC),SA = a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng

A. \(\frac{{6a}}{{11}}\).                  

B. \(\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).                       

C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}\).                       

D. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}\).

Phương pháp:

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P)

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Kẻ AD ⊥ BC tại D.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AD ^ BC nên BC ⊥ (SAD), suy ra (SBC) ⊥ (SAD).

Kẻ AF ⊥ SD tại F.

Vì (SBC) ⊥ (SAD), (SBC) ∩ (SAD) = SD, AF ⊥ SD nên AF ⊥ (SBC).

Suy ra d(A, (SBC)) = AF.

Vì tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên AD =

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AD hay tam giác SAD vuông tại A.

Xét tam giác SAD vuông tại A, AF là đường cao nên ta có:

Vậy d(A, (SBC)) =

Bài 12 trang 106 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết \(AC = AA' = 2a\). Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng

A. \(8{a^3}\).                

B. \(6{a^3}\).                          

C. \(4{a^3}\).                          

D. \({a^3}\).

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ \(V = h.S\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC².

Ta có S_ABCD = AB . BC ≤ . Dấu “=” xảy ra khi AB = BC.

Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD). Khi đó A'H ⊥ (ABCD). Khi đó AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABCD).

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABCD). Khi đó $\alpha =$

Xét tam giác A'AH vuông tại H có A'H = AA'.  sin$\alpha$≤ AA' = 2a.

Dấu bằng xảy ra khi $\alpha$= 90° hay AA' ⊥⊥ (ABCD).

Do đó V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_ABCD . A'H ≤ 2a² . 2a = 4a³. 

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng 4a³.

Bài 13 trang 106 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp \(B\).CMND bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)            

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).           

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).                

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

Phương pháp:

- Thể tích khối chóp đều cạnh a: \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\)

- Tỉ lệ thể tích: \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương pháp:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.

Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').

Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .

Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC=$

Vì CC' ⊥ (ABCD) nên CC' ⊥ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.

Xét tam giác ACC' vuông tại C, có 

Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC =

Vì O là trung điểm của AC nên CO =

Có AC ⊥ BD, BD ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD)), suy ra BD ⊥ (ACC'A') mà BD ⊂ (BDC') nên (BDC') ⊥ (ACC'A') .

Kẻ CE ⊥ C'O tại E.

Vì (BDC') ⊥ (ACC'A'), (BDC') ∩ (ACC'A') = C'O mà CE ⊥ C'O nên CE ⊥ (BDC').

Khi đó d(C, (BDC')) = CE.

Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:

Vậy d(AB', BC') $=$

$Bài\; 16\; trang\; 106\; SGK\; Toán\; 11\; -\; Kết\; Nối\; Tri\; Thức\; tập\; 2$

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thu thập của các công nhân tại một doanh nghiệp lớn:

Nhóm chứa trung vị là

A. \([5;10)\).                           

B. \([10;15)\).                         

C. \([15;20)\).                

D. \([20;25)\).

Phương pháp:

Trung vị là phần tử ở giữa sau khi sắp xếp tập dữ liệu theo thứ tự tăng dần.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu là n = 7 + 18 + 35 + 57 + 28 = 145.

Giả sử x₁; x₂; …; x₁₄₅ là mức thu nhập của 145 công nhân được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là x₇₃ mà x₇₃ thuộc nhóm [15; 20). Vậy nhóm chứa trung vị là [15; 20).