Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 78

Bài 8.11 trang 78 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Phương pháp:

Với hai biến cố A và B, nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\) thì A và B không độc lập.

Lời giải:

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ∅. Suy ra: P(AB) = 0.

Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên P(A) . P(B) > 0.

Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B)

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.12 trang 78 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Phương pháp:

Với hai biến cố A và B, nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\) thì A và B không độc lập.

Lời giải:

Ta có:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Do đó, AB = A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Suy ra

P(A) =  .

Mặt khác, P(A) . P(B) =  .

Khi đó P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.13 trang 78 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Có hai túi đựng các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bị màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bị. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Phương pháp:

- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A).P(B).

- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

- Công thức xác suất của biến cố đối \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Lời giải:

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.

Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”;

B là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”;

C là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.

a)Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là: .

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là:  .

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là: 

b) Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là: 

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là: .

Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là:

P(B) =

c) Ta có C = A ∪ B mà A và B xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = .

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là:  .

d) Gọi biến cố D: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.

Khi đó, =C.

Suy ra: P(D) = 1 – P() = 1 – P(C) = 1 –  .

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là 

Bài 8.14 trang 78 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Phương pháp:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A).P(B).

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,

A₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,

A₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.

Ta có A = A₁A₂. Hai biến cố A₁ và A₂ độc lập nên P(A) = P(A₁) . P(A₂).

Lại có P(A₁) = P(A₂) == 0,9. Do đó P(A) = (0,9)².

Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,

B₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,

B₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.

Ta có B = B₁B₂. Hai biến cố B₁ và B₂ độc lập nên P(B) = P(B₁) . P(B₂).

Lại có P(B₁) = P(B₂) == 0,9. Do đó P(B) = (0,9)².

Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.

Ta có E = A ∪ B.

Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.

Gọi H₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,

H₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.

Ta có AB = H₁H₂. Hai biến cố H₁ và H₂ độc lập nên P(AB) = P(H₁) . P(H₂).

Lại có P(H₁) = P(H₂) =. Từ đó P(AB) = (0,8)2.

Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = (0,9)2 + (0,9)2 – (0,8)2 = 0,98.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98

Bài 8.15 trang 78 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Phương pháp:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A).P(B).

Lời giải:

Xác suất để học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu là 100% – 93% = 7% = 0,07.

Xác suất để học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu là 100% – 87% = 13% = 0,13.

Gọi A là biến cố: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Khi đó ta có P(A) = 0,93; P(B) = 0,87; P() = 0.07; P() = 0,13 .

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

P(AB) = P(A) . P(B) = 0,93 . 0,87 = 0,8091.

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

P( ) = P().P() = 0,07 . 0,13 = 0,0091.

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P(A) + P(B) = 0,93 . 0,13 + 0,07 . 0,87 = 0,1818.

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,93 + 0,87 – 0,8091 = 0,9909.

Sachbaitap.com