Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 94

Bài 9.6 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1;\)                               

b) \(y = {x^2} - 4\sqrt x  + 3.\)

Phương pháp:

- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v'\)

- Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}};\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Lời giải:

a) y' = (x³)' – 3.(x²)' + 2.(x)' + 1' = 3x² – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y' = (x²)' – 4. ' + 3' = 2x –

Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}};\)                                

b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\)

Phương pháp:

- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

- Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Lời giải:

a) Với x ≠ – 2, ta có:

Bài 9.8 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x{\sin ^2}x;\)                                

b) \(y = {\cos ^2}x + \sin 2x;\)

c) \(y = \sin 3x - 3\sin x;\)                          

d) \(y = \tan x + \cot x.\)

Phương pháp:

- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

Lời giải:

a) y' = (x)' . sin²x + x . (sin²x)' = sin²x + x . 2 . sinx . cosx = sin²x + xsin2x.

b) y' = (cos²x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c) y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.

d) Với $x\ne \mathrm{k( k\in Z\; ) ,\; ta\; có:}$

y' = (tanx)' + (cotx)' = 

Bài 9.9 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2 

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\left( {{a^u}} \right)' = u'{a^u}\ln a;\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

Lời giải:

b) Với x>

y′=log3(4x+1)=

Bài 9.10 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 6\) với mọi x.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}};\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)

Lời giải:

Ta có:

Vì: 

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Bài 9.11 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h\left( t \right) = 100 - 4,9{t^2},\) ở độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;                        

b) Khi vật chạm đất.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Lời giải:

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t² = 0 ⇒ $t=$ .

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là $\mathrm{v (m/s)}$

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Bài 9.12 trang 94 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi \(s\left( t \right) = 12 + 0,5\sin \left( {4\pi t} \right),\) trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Phương pháp:

- Ý nghĩa vật lí: \(v = s'\)

- Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)

Lời giải:

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.

Sachbaitap.com