Giải SGK Toán 11 trang 109 Kết Nối Tri Thức tập 1

Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);            

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\)

Phương pháp:

a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bậc cao nhất.

b,Nhân với biểu thức liên hợp 

\(\left( {\sqrt A  - B} \right).\left( {\sqrt A  + B} \right) = A - {B^2}\)

Lời giải:

Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho hai dãy số không âm \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};\;\)                            

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \)

Phương pháp:

Dùng công thức tính giới hạn một tổng, hiệu, tích, thương.

Lời giải:

Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)                                        

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1}  - n\)

Phương pháp:

a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bạc cao nhất.

b, Nhân với biểu thức liên hợp \(\left( {\sqrt A  - B} \right).\left( {\sqrt A  + B} \right) = A - {B^2}\).

Lời giải:

Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1, (12) = 1, 121212…;                    b) 3, (102) = 3, 102102102…

Phương pháp:

Dựa vào công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải:

Bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Phương pháp:

Dựa vào đề bài để tìm công thức tổng quát.

Lời giải:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

150 + 150(1 + 0,05) . 5% = 150 + 150(0,05 + 0,052) = 150(1 + 0,05 + 0,052)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,052) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,052 + 0,053)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,052 + 0,053) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,052 + 0,053 + 0,054)

= 157,8946875 (mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

S = 150(1 + 0,05 + 0,052 + 0,053 + 0,054 + ...) (mg)

Lại có 1 + 0,05 + 0,052 + 0,053 + 0,054 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 0,05.

Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng \(\alpha \) (H.5.3). Từ A kẻ \(A{A_1} \bot BC\), từ \({A_1}\) kẻ \({A_1}{A_2} \bot AC\), sau đó lại kẻ \({A_2}{A_3} \bot BC\). Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn \(A{A_1}{A_2}{A_3} \ldots \) Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và \(\alpha \)

Phương pháp:

Dựa vào đề bài để tìm ra công thức tổng quát.

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Sachbaitap.com