Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\)  đạt cực tiểu tại x = 1

b) \(y =  - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\)  đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow  3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr} \)

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

\(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow  m =  - 3\)   

Khi đó, 

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 3 \cr
& y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0 \cr} \)             

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

\(\eqalign{
& y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 \cr
& y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 \cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 \cr} \)     

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

\(\eqalign{
& y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow  {(m + 1)^2} = 4 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 3 \hfill \cr
m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với m  = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

                  \(\Rightarrow y’’ = 18x + 12\)

                  \(\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6  < 0\)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

\(y' =  - 7{x^2} - 4x + 3 \)

\(\Rightarrow y'' =  - 14x - 4\)

\(\Rightarrow  y''( - 1) = 10 > 0\)   

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3. 

Sachbaitap.com