Bài 1.36 trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a : a) Khoảng cách giữa AC và DC’. b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB’. Hướng dẫn làm bài a) Gọi d(AC, DC’) = h Ta có C’A’ // CA , do đó: d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h Ta có: \({V_{A'.CDC'}} = {1 \over 3}{{{a^2}} \over 2}a = {{{a^3}} \over 6}\) Để ý rằng tam giác A’C’D là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 2 \). Do đó: \({S_{A'C'D}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\); \({V_{C.A'C'D}} = {1 \over 3}{S_{A'C'D}}.h = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}h = {V_{A'.CDC'}} = {{{a^3}} \over 6}\) Từ đó suy ra: \(h = {{{{{a^3}} \over 6}} \over {{{{a^2}\sqrt 3 } \over 6}}} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) b) Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’ , cắt DD’ tại N và A’D’ kéo dài tại J. Đặt h1 = d(MC’ , AB’) = d(M, (AB’N)) Ta có: \({V_{M.AB'N}} = {V_{N.AB'M}} = {1 \over 3}{{{a^2}} \over 4}a = {{{a^3}} \over {12}}\) Để ý rằng N là trung điểm của DD’ , A’J = 2A’D’ và JA = JB’ Gọi I là trung điểm của AB’, khi đó \(JI \bot AB'\). Ta có: \({\rm{AJ}} = \sqrt {{\rm{AA}}{'^2} + A'{J^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 ;AI = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) Suy ra: \({\rm{IJ}} = \sqrt {5{a^2} - {{{a^2}} \over 2}} = {{3a} \over {\sqrt 2 }}\) ; \({S_{JAB'}} = {1 \over 2}{{3a} \over {\sqrt 2 }}a\sqrt 2 = {{3{a^2}} \over 2}\) Do đó: \({S_{AB'N}} = {1 \over 2}{S_{JAB'}} = {{3{a^2}} \over 4}\) ; \({V_{M.AB'N}} = {1 \over 3}{{3{a^2}} \over 4}{h_1} = {{{a^2}{h_1}} \over 4} = {{{a^3}} \over {12}}\) Suy ra: \({h_1} = {a \over 3}\) Chú ý: Có thể tính thể tích SAB’N bằng cách khác. Để ý rằng: \(NB' = \sqrt {ND{'^2} + B'D{'^2}} = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + 2{a^2}} = {{3a} \over 2},\) \(AN = {{a\sqrt 5 } \over 2},\,\,AB' = a\sqrt 2 \) Gọi \(\alpha = \widehat {NAB'}\) . Ta có: \(NB{^2} = {\rm{ }}A{N^2} + {\rm{ }}AB{^2}-{\rm{ }}2AN.AB.cos\alpha \) Hay \({{9{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4} + 2{a^2} - 2{{a\sqrt 5 } \over 2}a\sqrt 2 \cos \alpha\) \( \Rightarrow \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {10} }} \Rightarrow \sin \alpha = {3 \over {\sqrt {10} }}\) Do đó: \({S_{AB'N}} = {1 \over 2}AB'.AN.\sin \alpha = {1 \over 2}a\sqrt 2 {{a\sqrt 5 } \over 2}{3 \over {\sqrt {10} }} = {{3{a^2}} \over 4}\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay >> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
ĐỀ TOÁN TỔNG HỢP - CHƯƠNG I. KHỐI ĐA ĐIẾN
|
Cho tứ diện ABCD. Gọi hA , hB, hC, hD lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh hai tứ diện ABCB’ và AA’D’B’ bằng nhau.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC.
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V, I là giao điểm các đường chéo của nó. Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện. Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó theo V.