Bài 2.19 trang 74 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

a) Chứng minh rằng \(OG\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng \(CM\parallel \left( {SAB} \right)\).

c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho \(S{\rm{C = }}{3 \over 2}SI\). Chứng minh rằng \(SA\parallel \left( {BI{\rm{D}}} \right)\).

Giải:

a) Gọi H là trung điểm của SC

Ta có:

\({{DG} \over {DH}} = {2 \over 3} \,\,\,\,\, \left( 1 \right)\) 

\(BC\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OB}} = {{OA} \over {OC}} = {{AD} \over {BC}} = 2\) 

\( \Rightarrow O{\rm{D}} = 2{\rm{O}}B\) 

\( \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {B{\rm{D}}}} = {2 \over 3} \,\,\,\, \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow {{DG} \over {DH}} = {{O{\rm{D}}} \over {B{\rm{D}}}} \Rightarrow OG\parallel BH\)

\(BH \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow OG\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) Gọi M’ là trung điểm của \(SA \Rightarrow MM'\parallel A{\rm{D}}\) và \(MM' = {{A{\rm{D}}} \over 2}\). Mặt khác vì \(BC\parallel A{\rm{D}}\) và \(BC = {{A{\rm{D}}} \over 2}\) nên \(BC\parallel MM'\) và \(BC = MM'\).

Do đó tứ giác BCMM’ là hình bình hành \( \Rightarrow CM\parallel BM'\) mà \(BM' \subset \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow CM\parallel \left( {SAB} \right)\) 

c) Ta có: \({{OC} \over {OA}} = {1 \over 2}\) nên \({{OC} \over {CA}} = {1 \over 3}\). Mặt khác vì \(SC = {3 \over 2}SI\) nên \({{CI} \over {CS}} = {1 \over 3}\).

\({{OC} \over {CA}} = {{CI} \over {CS}} \Rightarrow OI\parallel SA\)

\(OI \subset \left( {BID} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {BID} \right)\)

Sachbaitap.com