Bài 2.20 trang 74 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

Giải:

a) 

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right)\parallel AB \hfill \cr
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\) và \(MN\parallel AB\)

Ta có \(N \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

Và  \(\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {BCD} \right) \hfill \cr} \right.\)

Nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP\) và \(NP\parallel C{\rm{D}}\)

Ta có \(P \in \left( {AB{\rm{D}}} \right)\)

Và  \(\left\{ \matrix{\left( \alpha \right)\parallel AB \hfill \cr AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.\) nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ\) và \(PQ\parallel AB\)

\(\left\{ \matrix{
Q \in \left( {ACD} \right) \hfill \cr
\left( \alpha \right)\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right.\) nên \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MQ\) và \(MQ\parallel C{\rm{D}}\)

Do đó \(MN\parallel PQ\) và \(NP\parallel MQ\), Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b)  Ta có: \(MP \cap NQ = O\). Gọi I là trung điểm của CD.

Trong tam giác ACD có : \(MQ\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow AI\) cắt MQ tại trung điểm E của MQ.

Trong tam giác ACD có : \(NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow BI\) cắt NP tại trung điểm F của NP.

Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có  

\(\left\{ \matrix{
EF\parallel MN \hfill \cr
O\,là\,trung\,điểm\,EF\, \hfill \cr} \right.\)

\(EF\parallel MN \Rightarrow EF\parallel AB\) 

Trong ∆ABI ta có \(EF\parallel AB\) suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J

\( \Rightarrow I,O,J\) thẳng hàng

\( \Rightarrow O \in IJ\) cố định.

Vì M di động trên đoạn AC nên Ochạy trong đoạn IJ . Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.

Sachbaitap.com