Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

 Giải các phương trình:

a) \({{\sin 3x} \over {\cos 3x - 1}} = 0\)    

b) \(\cos 2x\cot \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = 0\)    

c) \(\tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0\)   

d) \(\left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0\)   

Giải:

a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:

sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \left( {2m + 1} \right){\pi  \over 3},m \in Z\)

b) Điều kiện: \(\sin \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) \ne 0\). Biến đổi phương trình:

\(\cos 2x.\cot \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = 0 \Rightarrow \cos 2x.\cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z. \hfill \cr} \right.\)

Do điều kiện, các giá trị \(x = {\pi  \over 4} + 2m{\pi  \over 2},m \in Z\) bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = {\pi  \over 4} + \left( {2m + 1} \right){\pi  \over 2},m \in Z\) và \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z\)

c) Điều kiện:

\(\cos \left( {2x + {{60}^o}} \right) \ne 0\)

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \sin \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\sin \left( {2x + {{60}^o}} \right) = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} \hfill \cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z \hfill \cr
x = {15^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr}\)

Do điều kiện ở trên, các giá trị \(x = {15^o} + k{180^o},k \in Z\) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x =  - {30^o} + k{90^o},k \in Z\)

d) Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cot x = - 1 \hfill \cr
\sin 3x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k{\pi \over 3},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị \(x = k{\pi  \over 3}\) và \(k = 3m,m \in Z\) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x =  - {\pi  \over 4} + k\pi {\rm{ ; }}x = {\pi  \over 3} + k\pi\) và \(x = {{2\pi } \over 3} + k\pi ,k \in Z\)