Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau

a) \(y = \cos \left( {2x - {\pi  \over 3}} \right)$ và $y = \cos \left( {{\pi  \over 4} - x} \right)\)

b) \(y = \sin \left( {3x - {\pi  \over 4}} \right)$ và $y = \sin \left( {x + {\pi  \over 6}} \right)\)

c) \(y = \tan \left( {2x + {\pi  \over 5}} \right)$ và $y = \tan \left( {{\pi  \over 5} - x} \right)\)     

d) \(y = \cot 3x\) và \(y = \cot \left( {x + {\pi  \over 3}} \right)\)  

Giải:

a)

\(\eqalign{
& \cos \left( {2x - {\pi \over 3}} \right) = \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {\pi \over 3} = {\pi \over 4} - x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
2x - {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{7\pi } \over {36}} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z\) và \(x = {\pi  \over {12}} + k2\pi ,k \in Z\)

b)

\(\eqalign{
& \sin \left( {3x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( {x + {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x - {\pi \over 4} = x + {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
3x - {\pi \over 4} = \pi - x - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {{5\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x = {{13\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi  \over 2},k \in Z\)

c)

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \tan \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos \left( {2x + {\pi \over 5}} \right) \ne 0;\,\,\cos \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \ne 0\left( 1 \right) \hfill \cr
2x + {\pi \over 5} = {\pi \over 5} - x + k\pi ,k \in Z\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow x = {{k\pi } \over 3},k \in Z \cr} \)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: \(x = {{k\pi } \over 3},k \in Z\)

d) 

\(\eqalign{
& \cot 3x = \cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sin 3x \ne 0;\,\,\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr
3x = x + {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z\,\,\,\,\left( 4 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 2},k \in Z \cr} \)

Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).

Suy ra các giá trị cần tìm là \(x = {\pi  \over 6} + m\pi ,m \in Z\)