Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\cos 2x - \sin x - 1 = 0\)

b) \(\cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x\)

c) \(4\sin x\cos x\cos 2x =  - 1\)

d) \(\tan x = 3\cot x\)

Giải:

a) 

\(\eqalign{
& \cos 2x - \sin x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x(2\sin x + 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos 2x - \sin x\sin 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = 1 \Leftrightarrow 3x = k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = {{k2\pi } \over 3},k \in {\rm Z} \cr}\)

c) 

\(\eqalign{
& 4\sin x\cos x\cos 2x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = - {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr}\)

d) 

\(\tan x = 3\cot x\). Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

Ta có: 

\(\eqalign{
& \tan x = {3 \over {\tan x}} \cr
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.