Bài 2.40 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

b) \({\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)                                                                       

d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

e) \(\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)                                                             

g) \(4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(0 < x - 1 \le {(\frac{1}{3})^{ - 2}} \Leftrightarrow 1 < x \le 10\)

b) 

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{{\log }_3}{\rm{[}}(x - 3)(x - 5){\rm{]}} < {{\log }_3}3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{x^2} - 8x + 12 < 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {2 < x < 6} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow 5 < x < 6 \cr} \)

c) 

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x - 7 > 0} \cr {{{2{x^2} + 3} \over {x - 7}} > 1} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} + 3 > x - 7} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} - x + 10 > 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {x \in R} \cr} \Leftrightarrow x > 7} \right.} \right. \cr} \)

d)

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{{1 \over 3}}}1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}2 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 2 \cr} \)

\(\Leftrightarrow 0 < |x| < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - \sqrt 2 < x < 0} \cr {0 < x < \sqrt 2 } \cr} } \right.\)

e) Đặt \(t = \log x\) với điều kiện \(t \ne 5,t \ne  - 1\)  ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over {5 - t}} + {2 \over {1 + t}} < 1 \Leftrightarrow {{t + 1 + 10 - 2t} \over {5 + 4t - {t^2}}} - 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{t^2} - 5t + 6} \over {{t^2} - 4t - 5}} > 0 \Leftrightarrow {{(t - 2)(t - 3)} \over {(t + 1)(t - 5)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t < - 1} \cr {2 < t < 3} \cr {t > 5} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra  log x < -1 hoặc 2 < log x < 3 hoặc log x > 5.

Vậy  \(x < \frac{1}{{10}}\)  hoặc 100 < x < 1000  hoặc x > 100 000.

g) Với điều kiện \(x > 0,x \ne 1\)  đặt \(t = {\log _4}x\) , ta có:  \(4t - \frac{{33}}{t} \le 1\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow {{4{t^2} - t - 33} \over t} \le 0 \Leftrightarrow {{(4t + 11)(t - 3)} \over t} \le 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t \le - {{11} \over 4}} \cr {0 < t \le 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_4}x \le - {{11} \over 4}} \cr {0 < {{\log }_4}x \le 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{0 < x \le {4^{ - {{11} \over 4}}}} \cr {1 < x \le 64} \cr} } \right. \cr} \)

Sachbaitap.com