Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\sin x + 2\sin 3x =  - \sin 5x\)

b) \(\cos 5x\cos x = \cos 4x\)

c) \(\sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x\)

d) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x =  - {1 \over 2}{\cos ^2}2x\)

Giải:

a)

\(\eqalign{
& \sin x + 2\sin 3x = - \sin 5x \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\left( {\cos 2x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4\sin 3x{\cos ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 3x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 3},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \cos 5x\cos x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} \right) = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow 6x = \pm 4x + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
10x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)

Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập \(\left\{ {l{\pi  \over 5},l \in {\rm Z}} \right\}\) ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: \(x = k{\pi  \over 5},k \in {\rm Z}\)

c) 

\(\eqalign{
& \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\cos 2x - 2\sin x\sin 3x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 4x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
4x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}{\cos ^2}2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + {1 \over 2}\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = - 2 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm)