Bài 2.50 trang 87 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\) đạt giá trị cực tiểu.

Giải:

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

\(M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

Cộng (1) và (2) ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\)

\( = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right)\,\,\) 

Gọi J là trung điểm của EF, ta có:

\(\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}\) 

Khi đó:

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr
& = 2\left( {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr
& \ge E{F^2} + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) \cr} \) 

Vậy \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M \equiv J\).

Sachbaitap.com