Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Bình chọn:

4.3 trên 3 phiếu

b) Tính I3 và I5.

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)

a) Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\)

b) Tính I₃ và I₅.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)

Dùng tích phân từng phần với và , ta có:

\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\)

\({= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)

\( = (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx} \)

\(= (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}\)

Vậy \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\)

b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)

Sachbaitap.com

Báo lỗi - Góp ý

Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.