Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:

a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);

b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M. 

Gợi ý làm bài

a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

(E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:

\(\left\{ \matrix{
{{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr
{9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \hfill \cr
{b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình của (E) là : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

b) xét elip (E) : \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\)

Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\)

\( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\)

và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\)

Thay vào (1) ta được : 

\(\eqalign{
& {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \)

\( \Leftrightarrow {b^4} = 14\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = 4\)

Suy ra \({a^2} = 9\)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là 

\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Sachbaitap.net