Bài 48 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoa)Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha' \right):x - y + z - 5 = 0.\) b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất. Giải a) \(M \in Oy \Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).\) Vậy : \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = {{\left| {{y_0} + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }},d\left( {M,\left( \alpha ' \right)} \right) = {{\left| { - {y_0} - 5} \right|} \over {\sqrt 3 }}.\) Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)\) \(\Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| {{y_0} + 5} \right| \Leftrightarrow {y_0} = - 3.\) Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0). b) Phương trình mặt phẳng (ABC) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }}.\) Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} \) Và \(3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{a^2}{b^2}{c^2}} \) Suy ra : \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \ge \sqrt 3 .\) Từ đó suy ra : \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le {1 \over {\sqrt 3 }}.\) Dấu = xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1\) hay \(a=b=c=1\). Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất bằng \({1 \over {\sqrt 3 }}\) khi \(a=b=c=1\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 2. Phương trình mặt phẳng
|