Bài 48 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng

\(\left( \alpha  \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha'  \right):x - y + z - 5 = 0.\)

b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\)

Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất.

Giải

a) \(M \in Oy \Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).\) Vậy :

\(d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = {{\left| {{y_0} + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }},d\left( {M,\left( \alpha ' \right)} \right) = {{\left| { - {y_0} - 5} \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)

Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| {{y_0} + 5} \right| \Leftrightarrow {y_0} =  - 3.\)

Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0).

b) Phương trình mặt phẳng (ABC) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }}.\)

Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} \)

Và \(3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{a^2}{b^2}{c^2}} \)

Suy ra : \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}  \ge \sqrt 3 .\)

Từ đó suy ra : \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le {1 \over {\sqrt 3 }}.\)

Dấu = xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1\) hay \(a=b=c=1\).

Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất bằng \({1 \over {\sqrt 3 }}\) khi \(a=b=c=1\)

Sachbaitap.com