Bài 49 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.

a) Tính thể tích của tứ diện BDA’M.

b) Tìm tỉ số \({a \over b}\) để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD).

Giải

a)

Từ giả thiết ta có C=(a;a;0).

\(C' = (a;a;b) \Rightarrow M = \left( {a;a;{b \over 2}} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - a;a;0} \right);\)

\(\overrightarrow {BM}  = \left( {0;a;{b \over 2}} \right);\,\,\overrightarrow {BA'}  = \left( { - a;0;b} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right]} \right) = \left( {{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}} \right)\)

Vậy \({V_{BDA'M}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right].\overrightarrow {BA'} } \right| = {{{a^2}b} \over 4}.\)

b) Mặt phẳng (A’BD) có vec tơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA'} } \right] = (ab;ab;{a^2}).\)

Mặt phẳng (MBD) có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right] = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}).\)

Vì vậy

\(\eqalign{  & \left( {MBD} \right) \bot (A'BD) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^4} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {a \over b} = 1.  \cr  &  \cr} \)

(do \(a > 0,b > 0).\)

Sachbaitap.com