Bài 50 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng song song có phương trình

\(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + E = 0\)

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng đó.

Giải

a) Giả sử \(A \ne 0\), khi đó mặt phẳng thứ nhất cắt trục Ox tại điểm \({M_0},{M_0} = \left( { - {D \over A};0;0} \right).\) Khoảng cách từ \({M_0}\) tới mặt phẳng thứ hai chính là khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó.

Vậy \(d = {{\left| { - A.{D \over A} + E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {E - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với hai mặt phẳng đã cho có phương trình

\(Ax + By + Cz + F = 0\left( {F \ne D,F \ne E} \right)\)

Để \(\left( \alpha  \right)\) cách đều cả hai mặt phẳng đã cho thì

\(\eqalign{  & {{\left| {F - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {F - E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {F - D} \right| = \left| {F - E} \right| \Leftrightarrow F - D =  \pm \left( {F - E} \right). \cr} \)

Vì \(D \ne E,\) nên ta phải có \(F - D =  - F + E \Rightarrow F = {{D + E} \over 2}.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là :

\(Ax + By + Cz + {{D + E} \over 2} = 0\)

Sachbaitap.com