Bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 10, 11 SGK Toán 9 tập 1 - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Bài 6 trang 10 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Với giá trị nào của \(a\) thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) \( \sqrt{\dfrac{a}{3}}\),         b) \(\sqrt{-5a}\);       c) \( \sqrt{4 - a}\);     d) \( \sqrt{3a + 7}\)

Phương pháp:

+) \(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\ge 0\).

Lời giải: 

a) Ta có:  \( \sqrt{\dfrac{a}{3}}\) có nghĩa khi \(\dfrac{a}{3}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 0\)

b) Ta có: \(\sqrt{-5a}\) có nghĩa khi \(-5a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \dfrac{0}{-5}\Leftrightarrow a\leq 0\)

c) Ta có: \( \sqrt{4 - a}\) có nghĩa khi \(4-a\geq 0  \Leftrightarrow -a\geq -4 \Leftrightarrow a\leq 4\)

d) Ta có: \( \sqrt{3a + 7}\) có nghĩa khi \(3a+7\geq 0\Leftrightarrow 3a \geq -7 \Leftrightarrow a\geq \dfrac{-7}{3}\)

Bài 7 trang 10 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tính:

a) \(\sqrt {{{\left( {0,1} \right)}^2}}\)

b) \(\sqrt {{{\left( { - 0,3} \right)}^2}}\) 

c) \( - \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2}} \) 

d) \( - 0,4\sqrt {{{\left( { - 0,4} \right)}^2}} \)

Phương pháp:

+) Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=\left| A\right| \).

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): \(\left| a \right| = a\) nếu \(a \ge 0\) và \(\left| a \right| = -a\) nếu \(a<0\). 

Lời giải:  

a) 

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {0,1} \right)}^2}}  = \left| {0,1} \right| = 0,1\) 

b) 

Ta có: \(\sqrt {{{\left( { - 0,3} \right)}^2}}  = \left| { - 0,3} \right| = 0,3\)

c) 

Ta có: \( - \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2}}  =  - \left| { - 1,3} \right| = -1,3\) 

d) 

Ta có:

\(- 0,4\sqrt {{{\left( { - 0,4} \right)}^2}}  \)\(=  - 0,4.\left| {-0,4} \right| =  - 0,4.0,4 \)

\(=  - 0,16\) 

Bài 8 trang 10 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

b) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} \) 

c)  \(2\sqrt {{a^2}} \) với a ≥ 0 

d) \(3\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} \) với a < 2.

Phương pháp: 

+) Sử dụng hằng đẳng thức \( \sqrt{A^2}=\left| A \right| \).

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\). 

+) Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai số học: Với hai số \(a ,\ b\) không âm, ta có:

\[a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b} \]

Lời giải:  

a) 

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right|=2- \sqrt{3} \)

(Vì \(4>3\) nên \(\sqrt{4} > \sqrt{3} \Leftrightarrow  2> \sqrt{3} \Leftrightarrow 2- \sqrt{3}>0 \).

\(\Leftrightarrow \left| {2 - \sqrt 3 } \right| =2- \sqrt{3}\))

b) 

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  = \left| {3 - \sqrt {11} } \right|  =\sqrt{11}-3.\) 

(Vì \( 9<11\) nên \(\sqrt{9} < \sqrt{11} \Leftrightarrow  3< \sqrt{11} \Leftrightarrow 3- \sqrt{11} <0\)

\(\Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {11} } \right| =-(3- \sqrt{11})=\sqrt{11}-3)\)

c) 

Ta có: \(2\sqrt {{a^2}}  = 2\left| a \right| = 2{\rm{a}}\)  (vì \(a \ge 0\) )

d) 

Vì \(a < 2\) nên \(a - 2<0\)

\(\Leftrightarrow \left| a-2 \right|=-(a-2)=2-a \) 

Do đó: \(3\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = 3\left| {a - 2} \right|  = 3\left( {2 - a} \right) \)\(= 6 - 3a\). 

Bài 9 trang 11 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm x biết

a) \(\sqrt {{x^2}}  = 7\)

b) \(\sqrt {{x^2}} = \left| { - 8} \right| \)

c) \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2}}  = 6\)

d) \(\sqrt {9{{\rm{x}}^2}} = \left| { - 12} \right|\) 

Phương pháp: 

+) Sử dụng hằng đẳng thức \( \sqrt{A^2}=\left| A \right| \).

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\).  

Lời giải: 

a) 

Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2}} = 7 \cr 
& \Leftrightarrow \left| x \right| = 7 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 7 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 7\).

b) 

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2}} = \left| { - 8} \right| \cr 
& \Leftrightarrow \left| x \right| = 8 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 8 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 8 \). 

c) 

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2}} = 6 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2}} = 6 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = 6 \cr 
& \Leftrightarrow 2x = \pm 6 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 3 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 3 \). 

d) 

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = \left| { - 12} \right| \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 12 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 12 \cr 
& \Leftrightarrow 3x = \pm 12 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 4 \cr} \).

Vậy \(x= \pm 4 \). 

Bài 10 trang 11 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chứng minh

a) \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\) 

b) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}- \sqrt{3} = -1\) 

Phương pháp: 

+) \(\sqrt{a^2}= |a|\)

+) Sử dụng hằng đẳng thức: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

+) Sử dụng công thức \((\sqrt{a})^2=a\), với \(a \ge 0\). 

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\). 

+) Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai số học: Với hai số \(a ,\ b\) không âm, ta có:

\[a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b} \]

Lời giải: 

a) 

Ta có: VT=\({\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2. \sqrt 3 .1 + {1^2}\)

\( = 3 - 2\sqrt 3  + 1\)

\(=(3+1)-2\sqrt 3 \)

\(= 4 - 2\sqrt 3 \) = VP

Vậy  \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\)  (đpcm)

b) 

Ta có: 

\(VT= \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3  \)\(= \sqrt {\left( {3 + 1} \right) - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3 \)

 \( = \sqrt {3 - 2\sqrt 3  + 1}  - \sqrt 3 \)

\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .1 + {1^2}}  - \sqrt 3 \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  - \sqrt 3 \) 

\( = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| - \sqrt 3 \)

\(=\sqrt 3 -1 - \sqrt 3\) 

\(= (\sqrt 3 - \sqrt 3) -1= -1\) = VP. 

(do \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt 3  > \sqrt 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 > 1 \)\(\Leftrightarrow \sqrt 3 -1 > 0 \)

\(\Rightarrow \left| \sqrt 3 -1 \right| = \sqrt 3 -1\))  

Sachbaitap.com