Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoTrong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). a) Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O. b) Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S. c) Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó. d) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy). Giải a) Ta có →OA=(1;2;−1), →OB=(−1;1;1), →OC=(1;0;1) ⇒→OA.→OB=0,→OB.→OC=0,→OC.→OA=0⇒OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA. b) Giả sử S(x;y;z) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có : →SA=(1−x;2−y;−1−z),→SB=(−1−x;1−y;1−z),→SC=(1−x;−y;1−z). Ta có: {→SA.→SB=0→SB.→SC=0→SC.→SA=0⇔{x2+y2+z2−3y=0x2+y2+z2−y−2z=0x2+y2+z2−2x−2y=0 {y=zx2+y2+z2−3y=0y=2x⇒[x=0x=23. Khi x=0 thì y=z=0, điểm S trùng với điểm O. Khi x=23 thì y=z=43, S=(23;43;43) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó M=(0;32;0), N=(1;1;0), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3. d) Ta có →AB = (-2 ; -1 ; 2), →AC = (0 ; -2 ; 2). Vì [→AB,→AC] = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là →n(1;2;2). mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là →k=(0;0;1). Gọi (φ) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì : cosφ=|→n.→k||→n|.|→k|=2√1+4+4=23. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 3. Phương trình đường thẳng - SBT Toán 12 Nâng cao
|
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng
Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (P) có phương trình :