Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).

a) Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.

b) Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.

c) Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.

d) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {OA}  =(1 ; 2 ;-1)\), \(\overrightarrow {OB}  =(-1 ; 1 ; 1)\), \(\overrightarrow {OC}  = (1 ; 0 ; 1)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC}  = 0,\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA}  = 0  \cr  &  \Rightarrow OA \bot OB,OB \bot OC,OC \bot OA. \cr} \)

b) Giả sử S(\(x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z\)) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có :

                    \(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right),  \cr  & \overrightarrow {SB}  = \left( { - 1 - x;1 - y;1 - z} \right),  \cr  & \overrightarrow {SC}  = \left( {1 - x; - y;1 - z} \right). \cr} \)

Ta có: \(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} - y - 2z = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\(\left\{ \matrix{  y = z \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr  y = 2x \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  x = {2 \over 3}. \hfill \cr}  \right.\)

Khi \(x = {\rm{ }}0\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), điểm S  trùng với điểm O.

Khi \(x = {\rm{ }}{2 \over 3}\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}{4 \over 3}\), \(S = \left( {{2 \over 3};{4 \over 3};{4 \over 3}} \right)\) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó \(M = \left( {0;{3 \over 2};0} \right)\), \(N = (1;{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0)\), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3.

d) Ta có \(\overrightarrow {AB} \) = (-2 ; -1 ; 2), \(\overrightarrow {AC} \) = (0 ; -2 ; 2).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;2;2} \right).\)

mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

Gọi \((\varphi )\) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì :

\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {2 \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)

Sachbaitap.com